线性常微分方程解法

一阶线性微分方程

\[\frac{

{dy}}{

{dx}} + P(x)y = Q(x)\]

对应的齐次线性方程

\[\frac{

{dy}}{

{dx}} + P(x)y = 0\]

此齐次方程可以用分离变量法求得通解: \(y = C{e^{-\int {P(x)dx} }}\)

常数变易法求非齐次线性方程的通解:

将齐次方程的通解中的C换成u(x): \(y = u{e^{ - \int {P(x)dx} }}\) 带入非齐次线性方程,可求得其解为:

\[y = C{e^{ - \int {P(x)dx} }} + {e^{ - \int {P(x)dx} }}\int {Q(x){e^{\int {P(x)dx} }}dx} \]

即非齐次线性方程的通解

等于对应的齐次方程的通解加非齐次方程的一个特解

二 伯努利方程

\[\frac{

{dy}}{

{dx}} + P(x)y = Q(x){y^n}\]

可变换为一阶线性微分方程:

设\(z=y^{1-n}\),可化为:

\[\frac{

{dz}}{

{dx}} + (1 - n)P(x)z = (1 - n)Q(x)\]

三 可降阶的高阶微分方程

1) \[y^{(n)}=f(x)\]

两边积分,可降为n-1阶的微分方程

\[y^{(n-1)}=\int f(x)dx+C_1\]

连续n次积分,可得方程含有n个任意常数的通解

2)\[y'' = f(x,y')\]

设 \(y'=p\),则\(y''=p'\), 原方程变换为关于变量x,p的一阶微分方程 \[p'=f(x,p)\]

其通解为 \[\frac{dy}{dx}=\varphi(x,C_1\]

积分可得原方程通解: \[ y=\int \varphi(x,C_1)dx+C_2\]

3) \[y''=f(y,y')\] (方程中不含自变量x的显式)

令

\(y'=p\), 有

\[y''=\frac{dp}{dx} =\frac{dp}{dy}  \frac{dy}{dx} =p \frac{dp}{dy} \]

原方程化为:

\[p\frac{dp}{dy}=f(y,p)\]

其通解为\[ y'=p=\varphi(y,C_1)\]

分离变量并积分可得原方程的通解:

\[ \int \frac{dy}{\varphi(y,C_1)}=x+C_2\]